一代经济学宗师阿罗逝世 一文看懂其生平和成就
4.投票的悖论
后来我发现一种令人困扰的现象。A受到的支持度高于B，而B又高于C，但A和C相比较时，反而是C的支持度比A略胜一筹。换句话说，多数同意原则(majority voting)，并不一定会具备我刚才提到的递移性，即产生了“投票的悖论”。
当然，这种无法递移的特性不必然会产生，而要看投票人的偏好而定。重点是，两两相比的多数同意原则投票(pairwise majority voting)制度，并不能保证整个社会能产生出一个排列顺序。
我认为这样的观察一定也有其他人作过，事实上，我好像曾在哪里听到过。至今，我仍然不知道是否的确听过。但不管如何，这种想法确实使我放弃这方面的研究，转而投入其他的课题。
大约一年后，我又不经意地注意到投票的问题。我发现，在某些特殊但非完全不自然的条件下，我先前发现的投票的矛盾可能不会发生。我认为这值得撰文探讨。但我在着手之际看到一本期刊，发现其中有篇英国经济学者布拉克(Duncan Black)的文章，提出了和我相同的想法。其实布拉克和我所发现的结果，在过去的一百五十年来随时都可能被提出，而我们两人不约而同几乎在同时想到，这点巧合我实在找不出什么解释。
对科学研究者而言，率先有所发现是一项激励，反之，结果若可预知，则令人泄气。因此，我再度放弃有关投票行为的研究，转而探讨一些重要但较不具吸引力的课题，不过没有什么进展。
但是，就在几个月之后，我偶然被问到一个问题，从这个问题中足以显示，投票方面的问题上具有重大意义，值得重新研究。
当时，新的博弈理论(theory of games)被应用到军事与外交的冲突上。在这项应用中，国家被视为理性的行为者。然而，既然国家是由偏好顺序不同的个人所集结而成，那么上述的观点如何能成立呢?因为根据个人先前所作的研究，如果采用两两相比的多数决投票，那么根据人民的偏好顺序，不一定能导出整个国家的优先顺序。
5.由个人偏好到社会选择
是否可能找出其他的方法加总个人的偏好顺序，以形成社会的偏好顺序?也就是说，在不同方案间所作的选择具有递移性。经过数周深入的思考，我总算对这个问题找到了清楚的解答。
无论采用什么方法来加总个人偏好顺序而产生社会选择，而且社会选择也符合某些非常自然的条件，总会存在一些个人偏好顺序，让社会选择不具递移性，就像前面所举的例子一样。
由于受过逻辑的训练，我能清晰地阐述问题，避免了不必要的复杂性。不过，我并没有使用到任何高深的数理逻辑概念。
这项研究成果迅速引起各方注意。另外一项附带的收获，是我由一些人士来函得知了早期相关的文献。
但后来的情势却完全改观，相关文献之多，几乎可用爆炸来形容。最近的一份综述，虽然不刻意强调资料搜集的完整性，仍然列出了600篇以上的参考文献，甚至出现了一本完全探讨社会选择理论以及相关议题的期刊。
社会选择理论与经济选择理论的平行发展相当重要，但它与过去的研究则甚少直接关联。至于个人另外的两项贡献，与当前经济理论和经济现实又有不同的关系。
6.牵一发而动全身
其中之一是有关一般均衡理论的研究。这项理论所演绎的观点看似简单，却不易了解。在经济体系内，任何一件事情都会有牵一发而动全身的后果。
我们且用下面的例子来说明。
30年代，由于得克萨斯州及波斯湾地区发现了石油，油价变得非常低廉。许多家庭在热能或能源的消费上，从煤改成石油，因此减少了对煤的需求，连带也降低了煤矿工人的就业水准。炼油厂迅速扩张，雇用了更多的劳工。同样地，由于炼油涉及复杂的化学程序，产生对炼油机器设备的需求，从而又导致对专业化学工程师以及钢铁的需求。油价便宜了，汽车的购买与使用也更为普遍。没有铁路经过但公路可达的观光地区，开始涌入大量的旅客，铁路运输却开始衰退。这里每一项变动，都会引发其他的变化，而这些后续的变化又回过头来影响石油的需求与供给。
从经济的角度来看，上面的例子有其特殊的意义，也就是任何一项产品的需求是受到所有产品价格的影响——包括劳力与资本服务的价格，也就是工资与利润。同样地，任何一项产品的供给，包括劳力或资本的供给，也是受到所有商品价格的影响。
到底是什么因素决定了各种产品与劳务目前的价格水准呢?
在经济学上常用的假说就是均衡(equilibrum)的概念。现行的价格，就是使市场上供给等于需求的价格。这样的假说，就像经济学里头许多其他的假说，或自然科学的假说一样，实际上并不是百分之百的精准，但是却是非常有用的近似说法。如果和那些过分夸大均衡存在的人比起来，把这种近似说法完全弃置不顾反倒更背离真实。
经济上的一般均衡理论，是由法国经济学家瓦尔拉斯(Leon Walras)在1874年率先提出较完整的架构。不过，当时要运用此一理论作为分析工具仍有困难，而且数学训练不足的经济学家也很难理解。直到30年代，经济学界才重拾对这项研究的兴趣，其中又以希克斯所作的精辟阐释与推展居功至伟。本人有幸于1972年与他共同获得诺贝尔经济学奖的荣誉。
一代经济学宗师阿罗逝世 一文看懂其生平和成就
里昂.瓦尔拉斯(Leon Walras，1834-1910)，法裔瑞士经济学家，洛桑学派的开创者、一般均衡理论的缔造者，但由于数学工具的限制，瓦尔拉斯本人并没能证明一般均衡的存在性
但是，还有一项有待解决的问题。
一般均衡理论主张，各项商品的价格，是由解一大组方程式而求出的，每一条方程式都代表个别商品市场上的供给等于需求。然而，这些方程式是否必然有单一解存在?假如没有，那么一般均衡理论不可能永远为真。
事实上，大概在1932年，一些德国经济学家的研究即指出，这些方程式不一定有一个有意义的解。维也纳的银行家史列辛格(Karl Schlesinger)在大学时主修经济学，之后也一直对经济学的发展相当关注，他认为前述的困难主要是源于某项细微的误解，其实一般均衡的存在应该可以证明。他聘请瓦德这位年轻的数学家来研究这个问题。瓦德提出一般均衡在某些特定的条件下(这些条件并不容易解释)存在的证明。事实上，对照后来的相关研究，他们设定的条件似乎太过严苛。即使如此，整个证明的过程仍是相当困难的。
7.为一般均衡求解
史列辛格原本坚信奥地利不致沦入希特勒的魔掌，等到噩梦成真，他随即自杀身亡。而瓦德则逃过此劫，并且来到了美国，他的兴趣领域也转移到数理统计。他正是我在哥伦比亚大学的老师。我也不知自己是如何得知一般均衡存在与否这个有待解开的问题。不过还记得我曾问过瓦德在这个问题上的研究成果，他只说这是一个非常困难的问题。既然他在数学上的能力远胜于我，我听了自然觉得很泄气。
由于某一领域的发展而促成了另一个领域的发展，在科学的历史上屡见不鲜。当时，赛局理论正迅速发展。数学家纳什(John Nash)证明的一项理论，在我看来与竞争性均衡存在与否的问题有许多相通之处。我借用并修正纳什所发展的数学工具，终于能说明在什么样的条件下，界定一般均衡的方程式组将会有解。
其实，这里头并不只是数学的问题而已，还牵涉到怎样更清楚地说明一般均衡系统。正如史列辛格已经做过的部分努力，我们有必要将所作的假设更进一步地弄清，在这项过程中可以学到很多。
从前面的说明，大家应当可以了解，能证明均衡的存在，是因为经济学及数学这两门学科的理论不断进步发展，而我当然也不是唯一提出证明的学者。事实上，就在我着手撰写研究成果之际，我得知德布鲁(Gerard Debreu)——1983年诺贝尔经济学奖得主——也独立地获得基本上相同的研究成果。于是，我们决定联合发表研究结果。就在我们的论文公诸于世之前，第三位经济学家麦肯锡(Lionel McKenzie)也发表了一篇论文，走的是类似的但不完全一样的路线。
